13주 강의 : 도시계획의 계량적 접근방법

제 6장 도시계획의 계량적 접근방법(김효석)

제 1장 자료

제1절 자료의 정의

자료란 어떤 결론이 얻어질 수 있는 사실이나 수치를 말하는 것으로, 이는 사실이나 수치의 결합으로 이루어지는데, 자료를 구성하는 기본적인 사항은 요소(element)라고 한다. 동일한 특성(예)에 여러 가지 다른 값을 취할 수 있는 것을 변수(variable)라고 하고 수치의 값을 가질 때는 양적변수, 비수치를 가질 때는 질적변수라고 하며, 전자는 다시 이산적 변수(discrete variable)와 연속적 변수(continuous variables)로 구분된다.

제 2절 자료의 수집

자료는 출처로부터 직접 얻은 1차 자료(primary data)와 2차 자료(secondary data)로 구분되며, 수집방법은 관찰법과 질문법이 있는데 후자는 개인면접법, 우편조사법, 전화조사법이 있다.

제3절 조사와 실험

조사(survey)는 연구대상변수에 영향을 미치는 인자(factor)를 통제하지 않은체 자료를 얻는 방법으로 연구대상구성요소 전체를 모집단이라 하고 모집단에서 연구에 활용하고 자 하는 일부를 표본이라 하고 이를 대상으로 한 조사가 표본조사이다. 실험은 연구대상변수에 영향을 미치는 영향을 결정하기 위해서 하나 혹은 그 이상의 인자에 대해서 통제를 하고 자료를 얻는 방법이다.

제 4절 자료의 측정

(1) 명목상의 척도 (Nominal Scale): 단순한 구별을 위한 것이다. 예, 남자, 1; 여자, 2. 이 척도는 순서, 거리, 원점의 개념이 없기 때문에 탐색적연구(exploratory), 즉 연구목적이 정확한 측정보다는 상호관계를 찾을 때 유용하게 활용된다. 통계적 유의성을 검증하는데는 χ2 검증(chi-square test)이 주로 활용된다.

(2) 순위척도 (Ordinal Scale): 서열을 결정하거나 숫자간의 대소를 결정한다. 예: 만족도의 정도, 1, 2, 3, 4. (간격의 숫자가 만족도의 정도를 나타내는 것은 아니다.) 단순위 서열만을 의미하며, 집중화경향치로는 중앙치가 이용되고, 산포도를 측정하기 위해서는 백분위수나 사분위수가 이용된다. 통계적인 유의성을 검증하기 위해서는 비모수적 통계방법(monparametric method)이 활용된다.

(3) 구간척도 (Internal Scale): 사물이나 현상을 분류하고 서열을 결정할 뿐만 아니라 거리 또는 간격의 개념을 부여한다. 예: 물 0도 100도 (간격 100등분), 구간척도의 집중화경향치로는 산술평균이 이용되며, 산포도를 알기위해서는 분산 또는 표준편차, 통계적인 기법으로는 t-검증, F-검증 및 분산분석 등을 이용할 수 있다.

구간척도: y=a+bx의 선형관계가 성립하고, 순위척도는 성립하지 않는다.

(4) 비율척도 (Ratio Scale): 하나의 대상이 다른 것보다 몇 배 더 큰 값를 측정할 수 있는 척도이다. 예, 30톤은 60톤의 반이다. 비척도와 구간척도의 차이는 비척도는 자연적으로 주어진 0의 값을 가지고, 이때의 0은 절대적인 의미의 0이다. 구간척도의 0 (Zero Point)은 임의로 선택할 수 있다. 예, 섭씨, 화씨의 선택이 가능, 앞에서 사용된 모든 통계적인 기법이 활용될 수 있으며, 산포도를 알기 위해서는 변동계수(coefficient of variation)가 이용된다.

제 2 장 자료의 분류

제1절 질적자료의 분류

질적 분포란 자료를 비모수적인 특성에 의하여 분류하여 정리해 놓은 표를 말한다.

제2절 도수분포

도수분포는 자료를 양적인 특성에 의하여 분류하여 정리해 놓은 표이다.

제 3 절 도수분포

1. 도수분포의 의미

어떤 범주에 대한 도수 (Frequency)란 그 범주에 속하는 측정치들의 총 숫자이다. 어떤 특정 범주에 대한 도수 (말하자면, 범주 i에 대한 도수)는 기호 fi로 나타낼 수 있다.

어떤 범주에 속하는 상대도수 (Relative Frequency)는 그 범주에 속하는 도수를 측정치들의 총 숫자로 나는 것이다. 즉 범주 i에 대한 상대도수는

상대도수 = fi/n 이다. 여기서, n=표본측정치의 총수, fi = i 번째 범주에 속한 도수

어떤 범주에 대한 도수는 그 범주에 속하는 측정치의 총 숫자인 반면에, 어떤 범주의 상대도수는 그 측정치에 속하는 비율 (Proportion)을 의미한다.

도수분포란 자료가 계량적인 특성에 의해 항목 혹은 계급으로 분류 된 것을 말한다.

절대분포: 절대빈도의 숫자

백분비 (상대도수):

2. 도수분포표의 작성

도수분포표를 작성하는데 가장 중요한 문제는 분류할 계급을 분류하는 것이다. 이를 위한 고려사항은

1) 계급의 수:

2) 계급의 폭

3) 계급의 한계 (Class Limit): 산술평균 등은 각 계급의 중간값에 의해 이루어지며, 이 중간 값은 계급의 한계의 결정에 크게 영향을 미친다. 도수분포표에 의해 작성되는 값을 정확하게 하기 위해서 계급의 한계는 계급의 중간점이 그 계급에 속하는 도수의 산술평균 (Arithmetic Mean)과 거의 일치하도록 선택해야 한다.

3. 도수분포도의 작성

1) 히스토그램

(1) 데이터의 가장 작은 것부터 큰 측정치까지 올림차순으로 나열한다.

(2) 가장 작은 측정치에서 부터 가장 큰 측정치에 이르기까지 거리를 동일한 구간으로 구분한다. 이때의 주의사항은

가. 각 측정치는 하나의 측정계급에 속해야 한다.

나. 어떤 측정치도 측정계급의 경계에 떨어지지 않도록 해야 한다.

(3) 각 계급내의 도수를 계산한다

(4) 횡축과 종축을 고려하여, 도수를 그린다.

2) 도수다각형

4. 누적도수분포

계급 i에 대한 누적계급도수 (class cumulative frequency)는 해당 계급 i의 도수를 포함하여 계급 i 까지의 도수들의 합이다.

누적계급도수 (계급 i대한)= f1+f2+...fi

계급 i 에 대한 누적상대계급도수는 (Class cumulative relative frequency)는 누적계급도수를 총 측정치들의 수, n 으로 나눈 것이다.

계급 i에 대한 누적상대계급도수 = 누적계급도수/n

누적상대도수분포표를 작성하는 방법은

1) 상대계급도수를 계산하기위해, 표에다 별도의 두열을 만들어서 한열은 누적계급도수, 다른 열은 누적상 대계급도수를 만든다.

2) 각 도수를 계산한다.

3) 그림을 그린다.

제4절 다변량 자료의 분류

자료가 2개 이상의 변수를 가질 때 이를 다변량(multivariate)자료라고 하고 두 개 이상의 특성에 의해 분류되는 것을 교차제표(cross-tabulation)이라 한다.

제 3장 자료의 요약

정리된 자료를 분석을 위하여 요약되어야 하는데 이를 위해서는 이는 자료의 분포가 가지는 중요한 특성을 수치로 나타내는 것으로 집중화경향(central tendency), 산포도(dispersion), 비대칭도(skewness) 및 첨도(kustosis)의 네 가지로 분류된다.

1. 표본조사와 분석

1. 전체조사와 표본조사

전체조사는 조사대상의 관점에서 조사전체대상을 전부 조사하는 것으로 인구센서스가 대표적인 것이며, 표본조사는 여론조사 같은 것이 대표적인 것이다. 전수조사는 오차 등이 없는 반면에 경비, 시간, 노력이 많이 들고 조사대상이 큰 경우에는 조사자체가 불가능하며 표본조사는 조사자체의 오차를 피할 수 없다.

2. 유의추출법과 무작위추출

조사에 의해 알고 싶은 전체를 모집단(population), 모집단으로부터 조사대상을 뽑아내는 것을 표본추출(sampling), 전체로부터 뽑아진 일부를 Sample라고 한다.

유의추출법은 전체를 대표할 수 있도록 표본을 정하는 방법으로 할당법과 전형법이 있다. 전자는 연령별, 남녀별 구성등이 조사대상의 구성과 일치하도록 하는 것이고, 후자는 조사대상을 몇 개의 유사한 군으로 나누고 그 중 대표적인 군을 선택하는 것이다. 유의무작위는 단순히 그러하다고 보는 것이고 통계적으로 추론할 수 없으며 무작위추출은 추론이 가능하다.

무작위추출은

1) 단순무작위추출법: 표본을 우연에 맡겨 추출하는 방법으로 주사위던지기, 난수표 등의 방법이 있으며, 대상에 속하는 것들이 같은 확률로 선택될 가능성이 있다.

2) 계통무작위(등간격)추출법: 조사대상의 전원에 일련번호를 매겨 첫째 표본은 난수로 선택하고 다음 표본부터는 일정한 간격으로 계통적으로 추출한다. 간격(I)는 조사대상수(N)을 표본수(n)으로 나누어서 간격 이하의 임의의 정한 수를 출발 숫자(S)로 한다. 여기서 대장의 순서와 추출간격이 일치하지 않도록 해야 한다.

3) 단계추출법

방법 I: 제1단계(확률비례추출): 시를 인구수에 비례하는 길이로 표시하고, 이 길이에 비래하는 확률로 시군을 추출하여 조사지점을 선정, 제2단계(계통추출): 조사지점별로 그곳의 인구에 관계없이 일정한 조사상대를 추출 한다.

표본통계량

1. 산술평균

모집단의 산술평균은?로 나타내고 표본의 산술평균은 X로 나타낸다.

1) 산술평균 (Arithmetic mean)의 의미: 자료의 각 항목의 모든 값들을 합한 다음 이것을 자료항목의 총수로 나눈 것을 말한다. 보통 평균이라고 한다.

2) 산술평균의 계산

자료가 그룹이 지워지지 않는 경우는 X1, X2, X3,..., Xn을 N개의 측정치라고 하면 산술평균은

? = (X1+X2+,...+Xn)/N=(∑Xi)/N (1)

산술평균의 가장 중요한 성질은 각 관측치의 평균치로부터의 Deviation의 합은 0이 된다는 것이다.

∑(Xi-?)=0 (2)

∑Xi=N? (3)

한편 자료가 그룹 지워진 경우의 가중평균을 계산해야 하는데 이때의 산술평균은 만약 자료의 부분집단이 i개로 되어 있고 각 부분집단의 항목수가 f1...fi라고 하면 각 부분집단의 평균을 X1.......Xi라고 하면 전체평균은

?= (∑fiXi)/∑fi (4)

단, fi는 계급 i의 자료의 빈도수, ∑fi=N이 된다.

한편, 표본의 산술평균도 모집단과 같은 방법으로 구해진다.

그룹이 없는 경우 X=∑Xi/n,

그룹이 지워진 경우는 X=1/∑fi (∑fiXi), 이때, ∑fi=n

3) 가중평균 (weighted mean)

그룹화된 자료의 산술평균과 비슷한 절차에 의해 산술평균을 구하는 것으로 Xw = ∑wiXi/∑wi, wi는 항목의 가중치, Xw는 가중평균이다.

장점은 계산이 용이하지만 양극단의 값에 영향을 많이 받는다.

표본이 클수록 정확하고, 변동이 작을수록 정확하다.

2. 중위수

중위수는 측정치의 중앙에 위치하도록 된수를 말한다.

중위수의 계산:

1) 데이터의 집합에서 측정값들의 숫자 (n)이 홀수 이면 올림차순으로 배열했을 때 가운데 위치한 숫자이다. :1/2 (n+1)번째.

2) 데이터의 집합에서 측정값들의 숫자 (n)이 짝수 이면 올림차순으로 배열했을 때 가운데 위치한 두 측정값의 평균값이다. 1/2 (n)번째.

그룹이 지워진 도수분포 형태일 경우는 중위수항목을 포함하고 있는 계급을 중위계급이라고 할 때, 이 중위수 계급 내의 모든 항목들이 균등하게 분포되어 있다고 가정하고,

계산방법은 Md= L + n1/n2 (I), L은 중위수가 포한되어 있는 계급의 하한 값, n1은 중위수항목을 포함하기 직전 계급까지의 총누적도수와 중위수 항목까지의 차, n2는 중위수 항목을 포함하는 계급내의 도수, 그리고 I 는 계급의 폭이다.

3) 중위수와 산술평균의 비교: 산술평균은 조작이 쉬운 대신에 양극단의 수에 의해 영향을 크게 받을 수 있고, 개구간의 계산이 어려운데 반해, 중위수는 개구간의 경우도 계산이 용이하고, 양극단의 영향을 받지 않는다. 중위수가 종종 대표치로 이용된다.

3. 최빈수

도수분포에서 빈도가 가장 많은 관측치로서, 그룹화된 도수분포표일 경우 가장 빈도수가 많은 계급을 최빈계급이라 하고, 최빈계급의 중앙값이 최빈수이다. 최빈계급이 2개있을 경우 각각이 최빈수이다.

4. 비대칭도

좌우 대칭, 정규분포의 경우 평균, 최빈, 중위수가 같다.

5. 측정의 수준과 중앙경향의 측정

표 2-8 참조 (노)

6. 변동의 척도

변동 (Variability) 또는 산포 (Spread)

제 5 절 분산도

분산도를 측정하는 방법은 범위, 사분편차, 표준편차, 변이계수 등이 있다.

1. 범위와 사분편차

1) 범위:

어떤 데이터 집합에 대한 범위 (Range)는 가장 큰 측정값에서 가장 작은 측정값을 뺀 값이다.

2) 사분편차: 범위를 사등분한 것

25%까지가 1분위 75%에 있는 것이 3분위,

사분편차=1/2 (Q3-Q1)

2. 표준편차와 분산

1) 표준편차의 의미:도수분포에서 자료의 각 항목들이 산술평균으로 부터 떨어진 정도를 나타낸다.

모집단 표준편차 : ?

표본의 표준편차 : S

2) 표준편차의 계산

분산은 n개의 측정치로 구성된 표본에 대한 sample variation은 평균으로 부터의 거리의 제곱의 합을 n-1로 나눈 값(n대신에 n-1을 사용하는 이유는 ?2

대한 불편추정량(unbiased estimator)을 얻기 위함이다.

S2 = ∑ (Xi-X)2 /n-1

표본표준편차 S (Standard Deviation)는 분산에 양의 제곱근을 취한 것이다.

S =

SQRT { ∑ (Xi-X)2 /n-1 }


? =

SQRT { ∑ (Xi-?)2 /n}



그룹별 데이터의 평균과 표준편차를 계산하기

그룹별 데이터로부터 평균과 표준편차를 계산하는 식

Xi= i번째 계급의 중간지점

fi= i번째 게급의 빈도수

k= 계급들의 수

상대적 위치의 척도

중심화 경향이나 변동의 척도들은 데이터의 집합의 일반적인 성격을 묘사한다. 상대적인 위치의 척도 (Measure of relative standing)는 데이터의 집합 내에서 어떤 측정치의 다른 측정치와의 관계를 묘사한다.

X1, X2,... Xn을 올림차순으로 정돈된 n개의 관찰치들이다. 제 P백분위수 (Pth percentile)는 관찰치 중의 P%는 어떤수 X의 아래에 위치하고 (100-P)%는 그 위에 있게 되는 수를 말한다. 어떤 측정치의 위치를 명시하기 위해 Z값을 자주 사용하고 Z값은 데이터 집합의 평균과 표준편차를 사용한다.

어떤 측정치 X에 대한 표본 Z값은 표본 Z= X- X/S이며,

어떤 측정치 X에 대한 모집단의 Z값은 모집단 Z= X-?/?가 된다.

Normal Distribution 데이타분포에 대한 Z값의 해석은

1) 측정치들의 약 68%는 -1과 1 사이의 Z값을 갖게 될 것이다.

2) 측정치들의 약 95%는 -2와 2 사이의 Z값을 갖게 될 것이다.

3) 거의 모든 측정치들은 -3과 3 사이의 Z값을 갖게 될 것이다.

1절 측정과 척도

1. 측정

1) 개념: 관심의 대상이 되는 것의 성질이나 특성들을 나타내기 위해 이들에게 숫자를 부여하는 것

양적인 측정: 동일한 내용물의 양을 합칠 때 증가하는 것 (예: 무게, 가감법이 성립)

질적인 측정: 동일한 내용물의 양을 합칠 때 증가하지 않는 것 (예: 밀도, 가감법이 미성립)

2) 측정의 척도

(1) 명목상의 척도 (Nominal Scale): 단순한 구별을 위한 것이다. 예, 남자, 1; 여자, 2.

(2) 순위척도 (Ordinal Scale): 서열을 결정하거나 숫자간의 대소를 결정한다. 예: 만족도의 정도, 1, 2, 3, 4. (간격의 숫자가 만족도의 정도를 나타내는 것은 아니다.)

(3) 구간척도 (Internal Scale): 대상에 할당된 숫자들 간에 간격의 동등성을 결정한다. 예: 물 0도 100도 (간격 100등분)

구간척도: y=a+bx의 선형관계가 성립하고, 순위척도는 성립하지 않는다.

(4) 비척도 (Ratio Scale): 하나의 대상이 다른 것보다 몇 배 더 큰 값를 측정할 수 있는 척도이다. 예, 30톤은 60톤의 반이다. 비척도와 구간척도의 차이는 비척도는 자연적으로 주어진 0의 값을 가지고, 이때의 0은 절대적인 의미의 0이다. 구간척도의 0 (Zero Point)은 임의로 선택할 수 있다. 예, 섭씨, 화씨의 선택이 가능

3. 측정의 오차

측정하고자 하는 대상의 참값과 측정값의 차이를 오차 (ERROR)

1) 계통오차 (Systematic Error): 측정도구의 부정확성에 의한 오차, 수정이 용이

2) 임이오차 (Random Error): 정확한 기구를 사용하더라도 발생할 수 있는 인위적으로 통제가 어려운 오차

정밀도는 임이오차와 관련된 것으로 반복측정에서 얼마만큼의 제현이 가능한가 (정밀도가 높다는 것은 반복측정을 하였을 때 측정치간의 차이가 적다는 것). 정확도는 계통오차 (편기)와 임이오차를 합친 것의 대소를 말함 (노 그림, 2-1 참조)