14주 강의 : 변량과 변수

2절 변량과 변수

1. 변수

계념: 연구대상의 다양한 값이나 결과요소의 하나하나를 변수라 한다.

예: 주민의 거주기간 (변수), 값은 1, 2, 3, 4 년

1). 양적변수 질적변수

(1) 양적인 변수: 가능한 결과들이 양적인 계념으로 표현될 수 있는 것 (예: 월 동사무소 방문회수)

(2) 질적 변수: 변수의 가능한 결과들이 숫자를 표현되지 않을 때, 예 아주 좋다, 좋다 등

2). 종속변수와 독립변수

(1) 종속변수 (내생변수, Dependent Variable, endogenous variable): 분석에 있어서 주된 관심사항이 되는 다른 변수로 부터의 영향에 의해 결정되는 변수

(2) 독립변수 (Independent Variable, exdogenous variable): 종속변수에 영향을 미치는 변수, 예 방문회수를 연구할 때, 방문회수는 종속변수, 방문에 영향을 미치는 요인들은 독립변수

3). discrite vs. continuous variable

4). dichotomous variable

2. 변량과 그 중요성

연구의 대상인 변수의 관찰값들의 차이가 변량 (Variation)이다. 통계 혹은 계량적인 접근이 기본이 변량이 존재하기 때문이다.

제 3 절 도수분포

1. 도수분포의 의미

어떤 범주에 대한 도수 (Frequency)란 그 범주에 속하는 측정치들의 총 숫자이다. 어떤 특정 범주에 대한 도수 (말하자면, 범주 i에 대한 도수)는 기호 fi로 나타낼수 있다.

어떤범주에 속하는 상대도수 (Relative Frequency)는 그 범주에 속하는 도수를 측정치들의 총숫자로 나는 것이다. 즉 범주 i에 대한 상대도수는

상대도수 = fi/n 이다. 여기서, n=표본측정치의 총수, fi = i 번째 범주에 속한 도수

어떤 범주에 대한 도수는 그 범주에 속하는 측전치의 총 숫자인 반면에, 어떤 범주의 상대도수는 그 측정치에 속하는 비율 (Proportion)을 의미한다.

도수분포란 자료가 계량적인 특성에 의해 항목 혹은 계급으로 분류 된 것을 말한다.

절대분포: 절대빈도의 숫자

백분비 (상대도수):

2. 도수분표표의 작성

도수분표표를 작성하는 데 가장 중요한 문제는 분류할 계급을 분류하는 것이다. 이를 위한 고려사항

1) 계급의 수:

2) 계급의 폭

3) 계급의 한계 (Class Limit): 산술평균 등은 각 계급의 중간값에 의 해 이루어 지며, 이 중간값은 계급의 한계의 결정에 크게 영향을 미친다. 도수분표표에 의해 작성되는 값을 정확하게 하기 위해서 계급의 한계는 계급의 중간점이 그 계급에 속하는 도수의 산술평균 (Arithmetic Mean)과 거의 일치하도록 선택해야 한다.

3. 도수분포도의 작성

1) 히스토그램

(1). 데이타의 가장 작은 것부터 큰 측정치까지 올림차순으로 나열한다

(2). 가장작은 측정치에서 부터 가장 큰측정치에 이르기까지 거리를 동일한 구간으로 구분한다. 이때의 주의사항은

가. 각 측정치는 하나의 측정계급에 속해야 한다.

나. 어떤 측정치도 측정계급의 경계에 떨어지지 않토록 해야 한다.

(3). 각 계급내의 도수를 계산한다

(4). 횡축과 종축을 고려하여, 도수를 그린다.

2) 도수다각형

4. 누적도수분포

계급 i에 대한 누적계급도수 (class cumulative frequency)는 해당 계급 i의 도수를포함하여 계급 i 까지의 도수들의 합이다.

누적계급도수 (계급 i대한)= f1+f2+...fi

계급 i 에 대한 누적상대계급도수는 (Class cumulative relative frequency)는 누적계급도수를 총 측정치들의 수, n 으로 나눈 것이다.

계급 i에 대한 누적상대계급도수 = 누적계급도수/n

누적상대도수분표표를 작성하는 방법은

1). 상대계급도수를 계산하기위해, 표에다 별도의 두열을 만들어서 한열은 누적계급도수, 다른열은 누적상대계급도수을 만든다.

2). 각 도수를 계산한다.

3). 그림을 그린다.

제4절 수치에 의한 기술적인 척도

모집단: 어떤 현상을 특정지우는 관심의 대상이 되는 전체 데이타의 집합이다.

표본: 모집단으로 부터 추출된 데이타의 집합이다. 표본은 모집단의 부분집합이다.

표본추출: 모집단에서 실제로 조사하기 위한 대상을 뽑는 것이다. 이때, 모집단의 특성을 나타내는 값을 모수 (Parameter)라 하고, 표본의 특성을 나타내는 값들을 통계량 (Statistic)이라 한다.

통계적추론: 표본에 담겨져있는 정보를 바탕으로 모집단에 관한 의사결정, 추정, 예측 또는 일반화하는 것이다. 즉, 좀더 적은 수의 측정치 (표본)에 포함되어 있는 정보를 사용하여, 더 많은 측정치 혹은 전체 집합에 대한 의사결정, 예측 또는 일반화를 시도하는 것이다.

통계학의 일차적인 목표는 표본에 담겨진 정보를 토대로 모집단에 대한 추론을 하는 것이다, 그러나, 추론은 통계학의 일부분에 지나지 않으며, ?비단에 대한 추론이 옳다고 확신할 수 이는 길은 표본에 모집단을 모두 포함시키는 것이다. 그러나 이와같은 것은 너무나 많은 비용이 들고 때로는 불가능하기 때문에 불확실성이 내재하더라도 부분적인 정보를 바탕으로 추론을 시도하며, 각각의 추론에 대한 신뢰도 (Reliablility)를 측정한다. 통계학과 점성술을 구분짓는 것은 이와같은 신뢰성의 척도이다. 측 에측오차 (Prediction error)의 한계을 부여하고, 에측의 불확실성은 에측오차에 대한 한계의 크기에 따라 결정된다.

따라서, 이상의 것을 바탕으로 모든 통계문제의 공통적인 4가지 요소는

1. 관심의 대상이 되는 모집단

2. 표본 및 표본에 담겨져 있는 정보의 분석

3. 표본에 담겨져 있는 정보를 바탕으로한 모집단의 추론

4. 추론에 대한 신뢰성의 척도

어떤 문제들의 상황을 기술하는 데 가장널리 사용되는 통계기술의 방법은 중앙경향치 (Measure of central tendency)이며, 상대도수분포의 center을 찾아낼수 있도록 돕는다. 이와 비슷하게 변동의 척도 (Measure of Variation) 은 해당되는 상대도수분포의 퍼짐 (Spread) 혹은 산포를 나타낸다. 이외에도 상대도수분포가 어느 한방향으로 뻗치는 편도 (Skewness)을 측정할 수 있으며, 또는 분포의 뾰족함 (Kurtosis)을 측정하는 수치기술척도도 고안되어 있다. 산술평균, 중위수, 최빈수가 가장 많이 쓰인다.

1. 산술평균

모집단의 산술평규는 ?로 나타내고 표본의 산술평균은 X로 나타낸다.

1) 산술평균 (Arithmetic mean)의 의미: 자룔의 각 항묵의 모든 값들을 합한 다음 이것을 자료항목의 총수로 나눈 것을 말한다. 보통 평균이라고 한다.

2) 산술평균의 계산

자료가 그룹이 지워지지 않는 경우는 X1, X2, X3,..., Xn을 N개의 측정치라고 하면 산술평균은

? = 1/N (X1+X2+,...+Xn)=1/N∑Xi (1)

산술평균의 가장 중요한 성질은 각 관측치의 평균치로부터의 Deviation의 합은 0이 된다는 것이다.

∑(Xi-?)=0 (2)

∑Xi=N? (3)

한편 자료가 그룹지워진 경우의 산술평균은

?=1/∑fi (∑fiXi) (4)

단, fi는 계급 i의 자료의 빈도수, ∑fi=N이 된다.

한편, 표본의 산술평균도 모집단과 같은 방법으로 구해진다.

그룹이 없는 경우 X=∑Xi/n,

그룹이 지워진 경우는 X=1/∑fi (∑fiXi), 이때, ∑fi=n

3) 가중평균 (weighted mean)

그룹화된 자료의 산술평균과 비슷한 절차에 의해 산술평균을 구하는 것으로 Xw = ∑wiXi/∑wi, wi는 항목의 가중치, Xw는 가중평균.

장점은 계산이 용이하지만 양극단의 값에 영향을 많이 받는다.

표본이 클수록 정획하고, 변동이 작을수록 정확하다.

2. 중위수

중위수는 측정치의 중앙에 위치하도록 된수를 말한다.

중위수의 계산:

1). 데이타의 집합에서 측정값들의 숫자 (n)이 홀수 이면 올림차순우로 배열했을 때 가운데 위치한 숫자이며 :1/2 (n+1)번째.

2). 데이타의 집합에서 측정값들의 숫자 (n)이 짝수 이면 올림차순우로 배열했을 때 가운데 위치한 두 측정값의 평균값이다. 1/2 (n)번째

그룹이 지워진 도수분포형태일 경우는 중위수항목을 포함하고 있는 계급을 중위계급이라고 할때, 이 중위수 계급내의 모든 항목들이 균등하게 분포되어 있다고 가정하고,

계산방법은 Md= L + n1/n2 (I), L은 중위수가 포한되어 있는 계급의 하한값, n1은 중위수항목을 포함하기 직전 계급까지의 총누적도수와 중위수 항목까지의 차, n2는 중위수 항목을 포함하는 계급내의 도수, 그리고 I 는 계급의 폭이다.

3) 중위수와 산술평균의 비교: 산술평균은 조작이 쉬운 대신에 양극단의 수에 의해 영향을 크게 받을 수 있고, 개구간의 계산이 어려운데 반해, 중위수는 개구간의 경우도 계산이 용이하고, 양극단의 영향을 받지 않는다. 중위수가 종종 대표치로 이용된다.

3. 최빈수

도수분포에서 빈도가 가장 많은 관측치로서, 그룹화된 도수분포표일 경우 가장 빈도수가 많은 계급을 최빈계급이라 하고, 최빈계급의 중앙값이 최빈수이다. 최빈계급이 2개있을 경우 각각이 최빈수이다.

4. 비대칭도

좌우 대징, 정규분포의 경우 평균, 최빈, 중위수가 같다.

5. 측정의 수준과 중앙경향의 측정

표 2-8 참조 (노)

6. 변동의 척도

변동 (Variability) 또는 산포 (Spread)

제 5 절 분산도

분산도를 측정하는 방법은 범위, 사분편차, 표준편차 등이 있다.

1. 범위와 사분편차

1). 범위:

어떤 데이타 집합에 대한 범위 (Range)는 가장 큰 측정값에서 가장 작은 측정값을 뺀 값이다.

2) 사분편차: 범위를 사등분한 것

25%까지가 1분위 75%에 있는 것이 3분위,

사분편차=1/2 (Q3-Q1)

2. 표준편차와 분산

1). 표준편차의 의미:도수분포에서 자료의 각 항목들이 산술평균으로 부터 떨어진 정도을 나타내다.

모집단 표준편차 : ?

표본의 표준편차 : S

2). 표준편차의 계산

n개의 측정치로 구성된 표본에 대한 sample variation은 평균으로 부터의 거리의 제곱의 합을 n-1로 나눈값

S2 = ∑ (Xi-X)2 /n-1

표본표준편차 S (Standard Deviation)은 분산에 양의 제곱근을 취한것

S =

SQRT { ∑ (Xi-X)2 /n-1 }


? =

SQRT { ∑ (X-?)2 /n}


그룹별 데이타의 평균과 표준편차를 계산하기

그룹별 데이타로부터 평균과 표준편차를 계산하는 식

Xi= i번째 계급의 중간지점

fi= i번째 게급의 빈도수

k= 계급들의 수

서열척도(ordinal scale)

중심화 경향이나 변동의 척도들은 데이타의 집합의 일반적인 성격을 묘사한다. 상대적인 위치의 척도 (Measure of relative standing)는 데이타의 집합내에서 어떤 측정치의 다른 측정치와의 관계를 묘사한다.

X1, X2,... Xn을 올림차순으로 정돈된 n개의 관찰치들이다. 제 P백분위수 (Pth percentile)는 관찰치 중의 P%는 어떤수 X의 아래에 위치하고 (100-P)%는 그 위에 있게되는 수를 말한다. 어던 측정치의 위치를 명시하기 위해 Z값을 자주 사용하고 Z값은 데이타 집합의 평균과 표준편차를 사용한다.

어떤 측정치 X에 대한 표본 Z값은 표본 Z= X- X/S이며,

어떤 측정치 X에 대한 모집단의 Z값은 모집단 Z= X-?/?가 된다.

Normal Distribution 데이타분포에 대한 Z값의 해석은

1). 측정치들의 약 68%는 -1과 1 사이의 Z값을 갖게 될 것이다

2). 측정치들의 약 95%는 -2와 2 사이의 Z값을 갖게 될 것이다

3). 거의 모든 측정치들은 -3과 3 사이의 Z값을 갖게 될 것이다

데이타의 일차적인 특성은 the shape of data distribution, the central tendency of distribution, and the variation of the distribution이다.


3). 변이계수

표준편차는 도수분포의 절대적인 분산도를 측정하기 위한수단이다. 비교를 위해서는 상대적인 분산도인 변이계수 (Coefficient of Variance)이다.

변이계수 (C. v) = S / X * 100

4. 비대칭도에 대한 피어슨 계수 비대칭도 3 (X-Md)/S

통계분석의 기본적인 목표

data reduction, inference, and the identification of relationship,

the frequency distribution of a measured, along with measures of central tendency (especially the mean),and variation (especially the standard deviation), are the primary tools for achieving the data reduction function of univariate statistical analysis.

가중종합물가지수

*

Laspeyres method, Paasche Indicater, Fisher Method.

우리나라의 물가지수계산방법은 Laspeyres 지수에 의한 방법은 이용하고 있다. Laspeyres의 물가지수는 가중치가 기준연도의 양 (q0)에 의하여 결정되는 하나의 가중종합물가지수이다. Laspeyres의 물가지수 L*n/0는 다음과 같이 정리된다.

L*n/0 (∑pnq0/∑p0q0)*100

21장 카이자승검증 (김효석)

기술통계는 어떤 모집단 혹은 표본으로부터 수집한 자료를 수량적, categorized data를 요약정리하는 통계적방법인데 이러한 통계치를 모집단에 일반화하는데는 오차가 발생하기 때문에 문제점이 따르게 된다. 표본으로부터 모집단을 특성을 추리하는 추리통계는 가설검증과 모집단의 값을 추정하는 방법으로 나눌수 있는데 가설검증에는 모수적 통계방법(parametric statics)과 비모수적 통계방법(non-parametric statics)으로 나눌 수 있다 (오택섭).

모수적 통계방법의 기본개념

모수적통계방법을 사용하기 위한 3가지 기본전제는

1) 모집단인 정규분포로 이루어져야 한다 (nomality).

2) 집단내에서 분산이 같아야 한다 (homogeneity of variance).

3) 변수의 측정은 최소한 등간척도로 되어야 한다 (interval measurement).

비모수적 통계방법은 분포의 가정이 필요없으며 interval measurement에 구애받지 않기 때문에 nominal or ordinal scale에 도 적용될 수 있다.

비모수적 통계방법은

1) 측정수준이 nominal or ordinal,

2) 표본의 크기가 어떠한가

3) 그 표본이 indepedent sample or 종속표본 (related sample)인가에 따라 분류

21.1 ?2 (chi-square) 명명변수의 검증

?2 (chi-square) 검증은 기대치와 관찰치의 차이를 검증하는 방법으로 적합도검증(goodness of fit test)이라고 불리운다. 이 경우에 한집단내의 category 간의 차이를 검증하고자 할때는 단일표본의 ?2 검증이고, 이 category에 대한 두개 혹은 그이상의 집단간의 독립성을 검증하는 것이 분할표(contingency table)의 ?2 검증이다.

예제 1. 단일표본의 categories 간의 검증

?2 = Σ(관찰빈도-기대빈도)2/기대빈도

통계자료를 조사하여 분석할 때 통계조사 결과가 어떤 속성 혹은 또는 어떤 범주에 따라 표의 형태를 만들어 정리하면 이해하기가 쉽고 결과를 한눈에 일목 요연하게 볼 수 있는 정리하면 편리하다. 이를 위해 ?2 검증(chi square test)을 이용한다.

?2 검증(chi square test)의 목적은

1). 조사에서 얻은 자료가 어떠한 특정한 분포를 얻는가를 알고자 할 때 (적합도 검증)

2). 자료의 두개의 속성(변수)에 따라 분류시켜 표를 만들었을 때 두 변수간의 관계가 있는 지를 검증 (독립성 검증)

3). 두 개이상의 다항분포가 동일한지 알고 싶을 때 (동일성 검증)

?2

제 1절 다항분포

n번 시행에서 결과가 2개일 때를 이항분포, 3개 이상 일 때를 다항분포라 한다.


1. 다항분포의 정의

모집단의 구성요소가 k개의 속성이나 범주로 나누어 질 때 어떤 요소가 i번째 속성 혹은 범주에 속할 확률 Pi는

ンPi=1.

확률 Pi는 일반적으로 알려지지 않으며 표본조사를 통해서 추정된다.

k개의 속성을 가진 다항분포의 모집단에서 n개의 표본을 추출하였을 때 i번째 속성(범주)에 속하는 관찰도수 fi는

ンfi=n

다항분포의 확률함수

P(fi, f2,..., fk) =(n!/f1!f2!...fk!)P1fi P2f2 .... Pkfk

여기서, ンPi=1

ンfi=n

2. 다항분포의 검증

다항분포의 모수 pi의 검증은 가설

Ho: Pi=PiI

H1: 모든 Pi=PiI이 성립되지 않는다.

예 시중의 4종류 화장품(A, B, C, D)의 시장점유률이 모두 같은 지를 검증

Ho: P1=0.25

P2=0.25

P3=0.25

P4=0.25

H1: 모든 Pi가 다 0.25는 아니다.

귀무가설 Ho가 맞는다는 가정 하에서 각 속성의 기대도수(expected frequency) Fi는

Fi = nPi

관찰도수 fi와 기대도수 Fi의 차이 fi-Fi을 잔차(residual)라고 하는데, fi와 Fi값이 같을 수록 Ho가 채택될 가능성이 커지며

검증 통계량 ?2 는 상대적인 잔차제곱의 합(sum of relative squared residual)이다.

?2 = ン(fi-Fi)2 /Fi

fi와 Fi값의 차이가 클수록 ?2 은 커지며, 반대로 fi와 Fi가 모두 같게 되면 ?2는 0이 된다. 즉 ?2

커지면 H1일 가능성이 높고 ?2가 작을수록 Ho을 채택할 가능성이 높다. 이 때 임계치의 결정은 ?2의 표본분포를 기준으로 결정하는 데

ㆃ표본이 충분히 크고 귀무가설 Ho가 옳다면 ?2

의 표본분포는 k-1의 자유도를 가진 ?2에 접근한다.

?2 ㄻ ?2 (k-1)

대체로 표본크기가 5보다 크면 ?2 분포에 접근한다.

따라서 결정법칙은

만약 ?2 ㄼ ?2 (1-?; k-1), Ho을 채택

?2 ㄾ ?2 (1-?; k-1), H1을 채택

제 2절 적합도 검증

통게이론에서 모집단의 확률분포에 대한 가정이 자주 언급되었는데 과연 그 가정이 타당한지를 검증하는 것이 적합도검증(goodness of fit)이다.

예4: 전자부품에 대한 주간수요가 ?=2인 포아송 분포 (Poisson distribution)를 따르는지 검증하려고 한다.

Ho: 주간수요의 확률분포는 ?=2인 포아송 분포 (Poisson distribution)

H1: 주간수요의 확률분포는 ?=2인 포아송 분포 (Poisson distribution)가 아니다.

예5: 예4에서 주간수요의 확률분포가 포아송분포인지를 검증하려고 한다.

Ho: 주간수요는 포아송분포를 따른다.

H1: 주간수요는 포아송분포를 따르지 않는다.

예6. 고등하교 학생의 신장의 분포가 정규분포인지를 검증하고자 한다.

Ho: 학생들의 신장분포가 정규분포이다.

H1: 학생들의 신장분포가 정규분포가 아니다.

예 4,5가 모두 이산확률분포이고, 예4는 확률분포의 모수가 가설에 포함되어 있는 반면, 예5는 모수가 가설에 포함되어 있지 않다. 예 6은 연속확률분포이다.

적합도 검증을 위해서 χ2 을 하면 우선 표본을 k계급으오 나누어 각 계급의 관찰도수 fi을 구하고 다음은 Ho가 옳다는 가정하에 기대도수 Fi을 구한다.관찰도수와 기대도수의 차이인 fi-Fi을 잔차라고 하고 검증통게량은 상대적인 잔차제곱의 합이 된다(relative squared residual).

X2 = Σ (fi-Fi)2 / Fi

1. 이산확룰분포에 대한 적합도 검증

예 4의 포아송분초에 대한 적합도 검증

Ho: 주간수요의 확률분포는 ?=2인 포아송 분포 (Poisson distribution)

H1: 주간수요의 확률분포는 ?=2인 포아송 분포 (Poisson distribution)가 아니다.

먼저 부품의 수요를 6개의 계급으로 구분 (k=6)

전자부품에 대한 100주간의 수요를 조사하여 6개의 계급에 속하는 관찰도수 fi를 표로 나타내면 표 21-2와 같다.